묻고 더블로? 켈리 공식과 투자 이야기: 포지션 사이징, 하프 켈리, 인터랙티브 시뮬레이터
켈리 공식
행운의 공식인가, 파멸의 레시피인가?
과학, 도박, 그리고 월스트리트를 관통하는 단 하나의 수학 공식. 자본 성장을 극대화하는 동시에 파산의 위험을 내포한 양날의 검, 켈리 공식을 심층 분석합니다.
1. 기원: 통신 연구실에서 라스베이거스까지
🔬 존 켈리 주니어의 발견
1956년, 벨 연구소의 과학자 존 켈리는 잡음이 섞인 통신 채널의 정보 전송률과 도박사의 자본 성장률 사이에 수학적 유사성을 발견했습니다. 그는 불확실성 속에서 '정보 우위'를 최적으로 자본화하는 공식을 탄생시켰습니다. 이는 단순한 도박 기술이 아닌, 정보 이론에 뿌리를 둔 과학적 발견이었습니다.
🃏 에드워드 소프의 증명
MIT 수학 교수 에드워드 소프는 카드 카운팅으로 블랙잭에서 우위를 점하고, 켈리 공식을 적용해 베팅 금액을 최적화했습니다. 그는 1만 달러의 투자금으로 라스베이거스에서 이론을 증명했고, 이후 월스트리트로 무대를 옮겨 최초의 퀀트 펀드 중 하나를 설립, 연평균 20%의 경이로운 수익률을 기록하며 켈리 공식의 힘을 현실 세계에 각인시켰습니다.
2. 거인의 어깨: 워런 버핏의 켈리적 본능
위대한 샐러드유 스캔들 (1963)
아메리칸 익스프레스가 대규모 대출 사기로 파산 위기에 몰렸을 때, 시장은 공포에 휩싸여 주식을 투매했습니다. 하지만 워런 버핏은 회사의 핵심 사업(여행자 수표, 신용카드)의 가치가 훼손되지 않았음을 간파했습니다.
그는 회복 확률(p)이 매우 높고, 잠재적 상승 여력(b)이 거대하다고 판단, 파트너십 자산의 40%라는 막대한 금액을 단일 종목에 투자했습니다. 이 베팅은 대성공을 거두며, "기회가 왔을 때 크게 베팅하라"는 그의 철학이 켈리 원칙과 정확히 일치함을 보여주었습니다.
3. 현실의 벽: 공식 적용의 어려움
변수 추정의 딜레마
주식 시장에서는 승률(p)과 손익비(b)가 주어지지 않습니다. 투자자는 과거 데이터, 애널리스트 리포트, 목표 주가 등을 바탕으로 이 값들을 '추정'해야 합니다. 이 추정의 정확성이 켈리 공식 적용의 성패를 좌우하며, 여기에 가장 큰 어려움이 존재합니다.
변동성의 함정 (Variance Drag)
변동성은 복리 수익률에 '세금'처럼 작용합니다. 50% 손실 후 50% 수익이 나도 원금은 회복되지 않습니다. 켈리 공식은 본질적으로 장기 복리 수익률을 극대화하므로, 변동성이 큰 자산(예: 암호화폐)에 대해서는 자연스럽게 베팅 비율을 낮춰 파산 위험을 회피합니다.
전문가의 해법: 하프 켈리
추정 오류의 위험과 극심한 변동성 때문에 대부분의 전문가는 '풀 켈리'가 아닌 '하프 켈리'를 권장합니다. 에드워드 소프에 따르면, 하프 켈리는 변동성을 절반으로 줄이면서도 수익의 75%를 얻을 수 있는 훨씬 효율적이고 심리적으로 감당 가능한 전략입니다.
4. 극과 극: 두 거인의 이야기
실패: LTCM의 오만
노벨상 수상자들이 포함된 드림팀 LTCM은 미세한 차익거래 기회에서 수익을 내기 위해 25:1이 넘는 극단적인 레버리지를 사용했습니다. 이는 작은 우위에 과도하게 베팅한, 켈리 원칙의 정면 위반이었습니다.
1998년 러시아의 채무 불이행 사태로 모델이 예측하지 못한 '꼬리 위험'이 현실화되자, 펀드는 단 4개월 만에 파산했고 금융 시스템 전체를 위협했습니다. 이는 리스크 관리와 포지션 사이징 실패의 가장 유명한 교훈입니다.
성공: 조지 소로스의 결단
1992년, 조지 소로스와 스탠리 드러켄밀러는 영국 파운드화가 과대평가되었다는 높은 확신을 가졌습니다. 그들은 하방 위험은 제한적인 반면, 상방 잠재력은 엄청난 비대칭적 기회라고 판단했습니다.
그들은 "확신이 있다면 목을 노려라"는 원칙에 따라 100억 달러가 넘는 거대한 공매도 포지션을 구축, '영란은행을 무너뜨리며' 10억 달러 이상의 수익을 올렸습니다. 이는 켈리 공식의 핵심인 '유리한 손익비'를 극대화한 완벽한 사례입니다.
5. 인터랙티브 시뮬레이션: 직접 운명을 조작하라
슬라이더를 조절하여 '승률'과 '손익비'를 설정하고, 아래의 성과 지표와 자산 변화 그래프를 확인해보세요. 모든 데이터는 100개의 서로 다른 시나리오를 1000회씩 베팅한 후의 평균값을 기반으로 합니다.
하프 켈리: 20.0%
풀 켈리: 40.0%
더블 켈리: 80.0%
자산 변화 평균 경로 (로그 스케일)
전략별 성과 분석
| 성과 지표 | 하프 켈리 | 풀 켈리 | 더블 켈리 |
|---|
CAGR (베팅당): 1회 베팅당 평균 복리 수익률. 장기적 성장성을 나타냅니다.
샤프 지수 (베팅당): 감수한 위험(변동성) 대비 초과 수익률. 높을수록 효율적인 전략입니다. (이 값은 평균 자산 경로를 기반으로 계산됩니다.)
최대 낙폭 (MDD): 전 고점 대비 최대 하락률. 전략이 겪을 수 있는 최악의 손실을 의미합니다.
손실 확률: 1000회 베팅 후 초기 자본($100)보다 손실을 볼 확률입니다.